数值微分步长敏感性分析
数值微分（Numerical Differentiation）：
用差商近似导数，步长 h 的选择至关重要：h 过大导致截断误差大，h 过小则舍入误差增大。观察步长与误差的关系，寻找最优步长。
原函数 f(x)
f(x) = sin(x)
f(x) = eˣ
f(x) = x³
f(x) = x²·sin(x)
目标点 x₀
x₀ =
1.0
真实导数 f'(x₀) =
--
步长 h
1e-12
1e-6
1e-3
1e-1
1
log₁₀(h) =
-3.0
，h =
1e-3
⚠️ 步长过小，舍入误差占主导，建议增大 h
差分方法
向前差分 (Forward)
向后差分 (Backward)
中心差分 (Central)
数值结果
向前差分: f'(x₀) ≈ [f(x₀+h)-f(x₀)]/h
截断误差 O(h)，精度较低
向前差分
--
向后差分: f'(x₀) ≈ [f(x₀)-f(x₀-h)]/h
截断误差 O(h)，精度较低
向后差分
--
中心差分: f'(x₀) ≈ [f(x₀+h)-f(x₀-h)]/(2h)
截断误差 O(h²)，精度最高
中心差分
--
真实导数值 f'(x₀)，由解析公式精确计算
真实导数
--
显示选项
显示真实切线
显示差分割线
显示 h 区间
操作
▶ 自动演示
↺ 一键重置
坐标范围
自动范围
X:
~
Y:
~
方法
使用点
近似导数值
绝对误差
误差阶
向前差分
--
--
--
O(h)
向后差分
--
--
--
O(h)
中心差分
--
--
--
O(h²)
真实导数
--
--
差分公式
▶ 展开泰勒余项
数值微分中的步长选择体现了"适度原则"——过犹不及，恰如其分。正如《礼记·中庸》所云："致中和，天地位焉，万物育焉。"在工程实践中，寻找精度与稳定性的平衡点，是工程师的核心素养，也是中国传统文化中"中庸之道"的现代体现。