工程计算方法 · 演示程序集

第一章绪论与基础

误差分析、矩阵运算与计算思维入门

泰勒展开可视化

动态展示泰勒级数展开的逐项逼近过程，理解截断误差的产生

基础对应绪论

矩阵几何变换

通过2×2矩阵对图形进行旋转、缩放、镜像等变换，直观理解线性代数

矩阵对应绪论

第二章插值与拟合

离散数据连续化建模：拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘法

拉格朗日插值

对比不同阶次拉格朗日插值，直观展示龙格现象，支持节点交互编辑

插值对应 2.1-2.3

最小二乘法拟合

多项式拟合实验数据，实时显示MSE和R²，观察欠拟合与过拟合

拟合对应 2.4

第三章数值微分与积分

差商法、插值型微分与积分，步长敏感性与精度分析

数值微分步长分析

对比前向/后向/中心差分，揭示步长 h 对误差的影响（V形曲线）

微分对应 3.1-3.2

数值积分对比

矩形法、梯形法、辛普森法精度对比，动态展示区间细分过程

积分对应 3.3-3.4

第四章级数展开与积分变换

傅里叶级数合成、快速傅里叶变换（FFT）与频谱分析

傅里叶级数合成

用不同次数谐波合成方波/锯齿波，观察吉布斯现象

傅里叶对应 4.1-4.2

信号FFT频谱分析

生成含噪混合信号，进行FFT变换并显示频谱，支持带通滤波交互

第五章方程求解

非线性方程（二分法、牛顿法）与线性方程组（高斯消元）的数值解法

非线性方程求解

二分法与牛顿迭代法动画对决，直观展示收敛过程与速度差异

非线性对应 5.1-5.2

线性方程组高斯消元

2D/3D几何意义演示，逐步展示消元与回代过程

线性对应 5.3

第六章常微分方程与系统响应

欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题，单/多自由度系统响应分析

常微分方程数值解

欧拉法与RK4对比，步长对精度的影响，观察数值稳定性

ODE 对应 6.1-6.3

单自由度系统响应

弹簧-质量-阻尼系统在阶跃/正弦激励下的时域响应，参数实时可调

单自由度对应 6.4

多自由度系统响应

两自由度振动系统建模与响应分析，观察模态耦合效应

多自由度对应 6.5